Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là một dạng phương trình quan trọng bên cạnh các phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x, phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x)

Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là gì?

Dạng tổng quát: Là các phương trình chỉ chứa $\sin x$ và $\cos x$ sao cho khi đổi chỗ $\sin x, \cos x$ cho nhau, phương trình là không đổi.

Cách giải: Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$, điều kiện $t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]$ thì suy ra $\sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.

Lưu ý, sau khi tìm được $t$, chúng ta cần thay vào $t=\sin x+\cos x$ và giải để tìm $x$. Không được thay vào $\sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$, vì đây là phương trình hệ quả.

Ví dụ phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

1. $\sin x+\cos x+3\sin x\cos x=1$
2. $\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\cos x}=\sqrt{2}$

Chú ý. Nhiều phương trình chưa có dạng đang xét thì sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về dạng đang xét.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

1. $2\sin 2x-2(\sin x+\cos x)+1=0$
2. $1+\tan x=2\sqrt{2}\sin x$

Chú ý. Cách giải trên cũng được sử dụng để giải các phương trình chỉ chứa $\sin x – \cos x$ và $\sin x\cos x$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

1. $(1+\sqrt{2})(\sin x-\cos x)+2\sin x\cos x=1+\sqrt{2}$
2. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$

Chú ý. Cách đặt ẩn phụ như trên cũng được dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

1. $y=\dfrac{1-\sin 2x}{\sin x+\cos x+2}$
2. $y=\sin x-\cos x+\sqrt{1+\sin x\cos x}$

Bài tập phương trình lượng giác đối xứng đối với sin x và cos x

Giải phương trình:

1. $1+\tan x=2\sin x + \frac{1}{\cos x}$
2. $\sin x+\cos x=\frac{1}{\tan x}-\frac{1}{\cot x}$
3. $1- \sin3x+\cos3x= \sin2x$
4. $2\sin x+\cot x=2 \sin2x+1$
5. $\sqrt{2}\sin2x(\sin x+\cos x)=2$
6. $\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x$
7. $ 1+\sin^32x+\cos^32 x=\frac{3}{2}\sin 4x$
8. $\left| \sin x-\cos x \right|+4\sin 2x=1$