Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°

Để làm được các bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°, các em học sinh cần khi nắm vững định nghĩa và các công thức trong bài Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ.

Bài 1. Cho $\sin x =\frac{5}{13}\left(90^{\circ}<x<180^{\circ}\right)$. Tính các giá trị lượng giác còn lại.

Hướng dẫn. Từ đẳng thức $\sin^2x+\cos^2x=1$ ta suy ra $$\cos ^{2} x =1-\sin ^{2} x =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$ Mặt khác, $90^{\circ}<x<180^{\circ}$ nên $\cos x <0$. Do đó, $$\cos x=-\frac{12}{13}$$
Từ đó tính được $\tan x=\frac{5}{13} \cdot-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}, \cot x=-\frac{12}{5}$.

Bài 2. Biết $\cot 15^\circ=2+\sqrt{3}$. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $15^{\circ}$.

Hướng dẫn. Dễ dàng có ngay $$\tan 15^{\circ}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} $$ Để tính $\cos 15^\circ$, chúng ta sử dụng hằng đẳng thức $$1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2x}$$

Ta có $$\frac{1}{\cos ^{2} 15^{\circ}}=1+\tan ^{2} 15^{\circ}=4(2-\sqrt{3}) $$ Suy ra $$\cos ^{2} 15^\circ=\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4} $$ Lưu ý rằng $15^\circ$ là góc nhọn nên $$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} $$ Cuối cùng, ta tính $$\sin 15^\circ=\tan 15^\circ \cdot \cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$

Bài 3. Cho $\tan \alpha=3$. Tính:

1. $\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}$
2. $\frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}$

Hướng dẫn.

1. Chia hai vế cho $\cos\alpha $ ta được $$\frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}=\frac{2 \tan \alpha+3}{4 \tan \alpha-11}=11$$
2. Chia hai vế cho $\cos^3\alpha $ ta được \begin{align} \frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}&=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\\
   &=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17}\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=7\end{align}

Bài 4. Cho tana $+$ cota $={m}$, hãy tính theo ${m}$:

1. $\tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}$
2. $\tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}$
3. $\mid \tan a- \cot a \mid$

Hướng dẫn.

1. $ \tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}=(\tan {a}+\cot a)^{2}-2 \tan a \cdot \cot a={m}^{2}-2$
2. $\tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}=(\tan {a}+\cot {a})^{3}-3 \tan a \cdot \cot {a}(\tan {a}+\cot {a})={m}^{3}-3 {m}$
3. $|\tan a-\cot a|=\sqrt{(\tan a+\cot a)^{2}-2 \tan a \cot a}=\sqrt{m^{2}-2}$

Bài 5. Cho $\sin a +\cos a=m$, hãy tính theo $m$ các biểu thức sau:

1. $\sin a \cos a$
2. $ |\sin a – \cos a |$
3. $\sin ^{3} a+\cos ^{3} a$
4. $\sin ^{4} a+\cos ^{4} a$

Bài 6. Chứng minh rằng:

1. $\frac{\tan ^{2} a-\sin ^{2} a}{\cot ^{2} a-\cos ^{2} a}=\tan ^{6} a$
2. $\sin ^{2} a\tan^{2} a+4 \sin ^{2} a-\tan ^{2} a+3 \cos ^{2} a=3$
3. $\frac{\sin a+\cos a}{\cos ^{3} a}=1+\tan a+\tan ^{2} a+\tan ^{3} a $

Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:

1. $ \cos ^{4} x-\sin ^{4} x=2 \cos ^{2} x-1$
2. $\cot ^{2} x-\cos ^{2} x=\cos ^{2} x \cdot \cot ^{2} x$
3. $\tan ^{2} x-\sin ^{2} x=\tan ^{2} x \cdot \sin ^{2} x$
4. $(\sin x+\cos x)^{2}+(\sin x-\cos x)^{2}=2$

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

1. $2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right) $
2. $2 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x $
3. $\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x-1\right)\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x+2\right) $