Giải phương trình \[ \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1. \]
Hướng dẫn. Điều kiện \( x \geqslant \frac{2}{3}. \) Dự đoán nghiệm của phương trình là \( 1 \) nên ta nhân hai vế của phương trình với 2 và thêm bớt \( 4x \) ta được
\[2x^2-4x+2 + x-2\sqrt{x}+1 +3x-2 -2\sqrt{3x-2}+1=0 \]
\[ \Leftrightarrow 2(x-1)^2 + \left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0 \]
Từ đó suy ra \[ (x-1)^2= \left(\sqrt{x}-1\right)^2=\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0 \] và tìm được nghiệm duy nhất \( x=1 \).
\end{proof}
Cách khác, đặt \( u= \sqrt{x}, v=\sqrt{3x-2} \) ta suy ra \( u+v=x^2+1, u^2=x, v^2=3x-2 \) ta đưa về đánh giá các biểu thức đại số không chứa căn.
Cách khác nữa, sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\[ \frac{x +1}{2} \geqslant \sqrt{x}; \frac{3x-2+1}{2} \geqslant \sqrt{3x-2} \]
Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được \[ 2x \geqslant \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}. \] Mà \( \sqrt{x} +\sqrt{3x-2}=x^2+1 \) nên suy ra \[ 2x \geqslant x^2+1 \Leftrightarrow (x-1)^2 \leqslant 0. \] Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi \( x=1. \)