Phép nhân véc-tơ với một số thực

1. Phép nhân véc-tơ với một số thực

1.1. Tích của véctơ với một số thực

Phép nhân véc-tơ $ \vec{a}$ với một số thực $k $ kết quả là một véc-tơ, kí hiệu là $ k\vec{a} $ thỏa mãn:

• Nếu $ k=0 $ thì $ k\vec{a}=\vec{0}. $
• Nếu $ k>0 $ thì $ k\vec{a} $ cùng hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=k|\vec{a}| $
• Nếu $ k<0 $ thì $ k\vec{a}$ ngược hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=-k|\vec{a}| $

Chú ý: Không có định nghĩa phép chia hai véc-tơ nên không được viết $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$.

1.2. Qui tắc trung điểm

Điểm $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.

Với điểm $ M $ tùy ý, $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $.

2. Các dạng toán và ví dụ

2.1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ

Ví dụ 1. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ E,F $ là trung điểm của $ AB,CD $ và $ O $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng:

1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{EF}$
3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi:

1. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} =\vec{0} $
2. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ với mọi điểm $ M. $

Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC. $ Lần lượt lấy các điểm $ M, N, P $ trên các đoạn $ AB,BC,CA $ sao cho $ AB=3AM,BC=3BN,AC=3CP. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $$

Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\
\overrightarrow{CP}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
\end{align*}
Cộng từng vế ba đẳng thức trên được $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}) $$

Mà theo quy tắc ba điểm thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \vec{0}$, nên đẳng thức trên tương đương với $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $

Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}. $$

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng:

1. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{CM} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
2. $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}$

Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$cm và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng các véc-tơ sau có độ dài không đổi.

1. $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD} $
2. $\vec{v}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM} -2\overrightarrow{MD}$

Ví dụ 7. Cho tam giác $ ABC $ với $ G $ là trọng tâm. Gọi $ B’ $ đối xứng với $ B $ qua $ G,G’ $ đối xứng với $ G $ qua $ B $ và $ M $ là trung điểm $ BC. $ Chứng minh rằng:

1. $ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},$
2. $\overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}),$
3. $\overrightarrow{MB’}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
4. $ \overrightarrow{G’A}-5\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=\vec{0}. $

Hướng dẫn.

1. Gọi $ N $ là trung điểm $ AC. $ Ta có
   $$ \overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB’}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}). $$
   Mà $ 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC},2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $ nên
   $$ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. $$
2. Tương tự có
   $$ \overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}).$$
3. Có $ \overrightarrow{MB’}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB’}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
4. Ta có $ \overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’C}=2\overrightarrow{G’N}=2(\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{BN})=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN} $
   Mà $ \overrightarrow{G’B}=\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} \Rightarrow 5\overrightarrow{G’B}=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

2.2. Phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương cho trước

Để phân tích một véc-tơ $\vec{u}$ theo hai véc-tơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cho trước. (Biểu diễn một véc-tơ theo 2 vecto không cùng phương). Chúng ta sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (xem bài Tổng hiệu của hai véc-tơ), quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm và định nghĩa tích của một vectơ với một số thực để tìm được một đẳng thức có dạng

$$\vec{u}=x \vec{a} + y \vec{b}$$

Chú ý rằng, cặp hệ số $x,y$ trong đẳng thức trên là duy nhất.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích véc-tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\
&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}
\end{align*}

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ I $ là điểm trên $ BC $ kéo dài sao cho $ IB=3IC. $

1. Tính véc-tơ $ \overrightarrow{AI} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
2. Gọi $ J,K $ là những điểm trên cạnh $ AC,AB $ sao cho $ \overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC} $ và $ \overrightarrow{KB}=-3\overrightarrow{KA}. $ Tính $ \overrightarrow{JK} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}.$
3. Tính $ \overrightarrow{ BC} $ theo $ \overrightarrow{ AI} $ và $ \overrightarrow{ JK}. $

Hướng dẫn.

1. Có $ \overrightarrow{ IB}=3 \overrightarrow{ IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{ AB}-\overrightarrow{ AI}=3(\overrightarrow{ AC}-\overrightarrow{ AI}) \Leftrightarrow \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}.$
2. Chỉ ra $ \overrightarrow{ AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} $ và $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $ Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
3. Ta có $ \begin{cases} \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}\\ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6\overrightarrow{AI}=9 \overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\\12\overrightarrow{JK}=3\overrightarrow{AB}-8 \overrightarrow{AC}\end{cases}
   \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}\\ \overrightarrow{AC}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}\end{cases} $Trừ từng vế được $ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}. $

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $ D,E,F $ lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ $ A,B,C $. Hãy phân tích véc-tơ $ AD $ theo hai véc-tơ $ AB,AC. $ Chứng minh rằng nếu có $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}=\vec{0} $ thì tam giác $ABC$ đều.

2.3. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc-tơ cho trước

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L $ biết rằng

1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $
3. $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{BC}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}. $

Hướng dẫn.

1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}. $ Vậy $ I $ là điểm đối xứng của điểm $ A $ qua $ B. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $
3. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}. $ Do đó $ \overrightarrow{GK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AL}=2 \overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. $

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $M$ thỏa mãn $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC} $$

Hướng dẫn. Ta có $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.$

Ví dụ 3. Cho hai điểm $ A,B $ và hai số $ \alpha,\beta $ thỏa mãn $ \alpha+\beta\ne0 $.

1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} $
2. Với $ M $ là điểm bất kì thì $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} $

Hướng dẫn.

1. Có $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{IA}+\beta (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$
   Do $ A,B $ cố định và hai số $ \alpha,\beta $ không đổi nên véc-tơ $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} $ không đổi.
   Vậy tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0}.$
2. Ta có $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} +\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}. $

Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Hãy tìm số $ k $ và điểm điểm $ I $ cố định sao cho các đẳng thức sao thỏa mãn với mọi điểm $M$.

1. $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=k\overrightarrow{MI} $
2. $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=k \overrightarrow{MI} $
3. $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=k \overrightarrow{MI} $

Hướng dẫn.

1. Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, thì $ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3 \overrightarrow{MG}. $ Suy ra
   $$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=3( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{MD})=6\overrightarrow{MI} $$
   trong đó $I$ là trung điểm của $ GD. $
2. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+2 \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. $ Khi đó $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{MI} $
3. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}. $
   Khi đó $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=…=2 \overrightarrow{MI} $

2.4. Chứng minh thẳng hàng. Tìm quỹ tích.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết có $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $ nên \begin{align} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}&=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}&=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}. \end{align}
Mà $ 2\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} $ nên $ 3\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}. $ Điều này chứng tỏ $ A,M,C $ thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn
$$ |2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $$

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} $ nên $ $|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |2\overrightarrow{MA}|=|2\overrightarrow{MI}| \Leftrightarrow MA=MI$$ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường trung trực của $ AI. $

Ví dụ 3. Tìm điểm $ C $ trên đoạn $ AB $ sao cho: $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi: $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $ Suy ra $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})=-\overrightarrow{MC}. $$ Vậy $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

Ví dụ 4. Cho tứ giác $ABCD$ có hai điểm $ M,N $ thay đổi trên cạnh $AB,CD$ sao cho $ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ MN? $

Hướng dẫn. Theo giả thiết có $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}. $ với $ 0\le k\le1. $

Gọi $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BD $ thì \begin{align*}
\overrightarrow{PI}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\
\overrightarrow{PQ}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})
\end{align*} Suy ra $ \overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} $ hay $ P,I,Q $ thẳng hàng. Mà $ 0\le k\le1 $ nên $ I $ thuộc đoạn $ PQ. $
Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn $ MN $ là đoạn $ PQ. $

Ví dụ 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là một điểm di động trên cạnh $ BC. $ Kẻ $ MP,MQ $ lần lượt song song với $ AC,AB $ và cắt $ AB,AC $ tại $ P,Q. $ Dựng cách hình bình hành $ BMPR $ và $ CMQS. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ RS? $

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
\overrightarrow{AR}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\
\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM}
\end{align*} Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}. $$ Vì $ M $ thuộc đoạn $ BC $ nên $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1-k) \overrightarrow{AC} $ với $ k\in [0,1]. $ Do đó $ \overrightarrow{AI}=(1-k)\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=(1-k)\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{AF} $ với $ E,F $ là trung điểm $ AB,AC. $
Suy ra $ I $ thuộc đoạn $ EF. $