Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

Xem chi tiết các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài toán. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \[ y=\frac{1}{3}x^{3}-(m-1)x^{2}-(m-3)x+1 \] đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$.

Hướng dẫn.

• Đạo hàm của hàm số đã cho là \[ y’=x^{2}-2(m-1)x-(m-3) \]
• Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$ khi và chỉ khi $$y’\geqslant0,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)$$
• Điều kiện này tương đương với
  \begin{align*}
  & m(2x+1)\leqslant x^{2}+2x+3,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)\\
  \Leftrightarrow & \begin{cases}
  m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]\\
  m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]
  \end{cases}
  \end{align*}
  Xét hàm số $g(x)=\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1}$ trên đọan $[-3;-1]$
  chúng ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó, điều kiện $m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]$ tương đương với
\[ m\geqslant\max\limits _{[-3;-1]}g(x)=-1. \]

• Làm tương tự, điều kiện $m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]$
  cho ta $m\leqslant2.$

Kết hợp hai điều kiện, được đáp số cần tìm là $-1\leqslant m\leqslant2.$