HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN
Bài 1.1.
a) Với điều kiện bài toán, ta đặt
$$\begin{cases}a=\sqrt{1-x}\\ b=\sqrt{1+x}\\ a^2+b^2=2 \end{cases}$$
Biểu thức $A(x)$ viết lại như sau \begin{align}A(x)&=\dfrac{\sqrt{1+ab}(b^3-a^3)}{2+ab}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2+2ab}(b-a)(a^2+b^2+ab)}{2+ab}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot |a+b|(b-a)\\
&=\pm x \sqrt{2}\end{align}
b) $\sin\alpha= A\left( \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Biểu thức $A(x)$ viết lại như sau \begin{align}A(x)&=\dfrac{\sqrt{1+ab}(b^3-a^3)}{2+ab}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2+2ab}(b-a)(a^2+b^2+ab)}{2+ab}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot |a+b|(b-a)\\
&=\pm x \sqrt{2}\end{align}
b) $\sin\alpha= A\left( \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Từ đây ta có $x=45^\circ $
Bài 1.2. Với $x=3$ không là nghiệm ta viết phương trình nghiệm nguyên lại như sau
$$y=3+\dfrac{9}{x-3}.$$ Để $y$ nguyên thì \begin{align}
\left[\begin{array}{l}x-3=\pm 1 \\ x-3=\pm 3 \\ x-3=\pm 9 \end{array} \right.
\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=4,y=12\\x=2,y=-6\\ x=0,y=0 \\ x=6, y=6\\ x=12, y=4\\ x=-6, y=2 \end{array}\right.
\end{align}
\left[\begin{array}{l}x-3=\pm 1 \\ x-3=\pm 3 \\ x-3=\pm 9 \end{array} \right.
\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=4,y=12\\x=2,y=-6\\ x=0,y=0 \\ x=6, y=6\\ x=12, y=4\\ x=-6, y=2 \end{array}\right.
\end{align}
Bài 2.1. Điều kiện là $x\neq 0$ và $x-\dfrac{1}{x}\ge 0$. Với điều kiện đó, ta viết lại phương trình như sau $$x-\dfrac{1}{x}+2 \sqrt{x-\dfrac{1}{x }} =3,$$ hay $$ \sqrt{x-\dfrac{1}{x }}=1.$$
Bình phương 2 vế ta có ngay $x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$
Bài 2.2. Hệ viết lại như sau $$\begin{cases}(x+y)^2=4+xy \\ x+y=2-xy\end{cases}$$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)^2=6-(x+y) \\ x+y=2-xy
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l}x+y=2\\ x+y=-3\end{array} \right.\\ x+y=2-xy \end{cases}$
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l}x+y=2\\ x+y=-3\end{array} \right.\\ x+y=2-xy \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases}x+y=2 \\ xy=0\end{cases} \\ \begin{cases}x+y=-3 \\ xy=5\end{cases} \end{array}\right. $
Vì $(x+y)^2\ge 4xy$ nên ta có các cặp nghiệm $(x,y)\sim (0,2)\sim (2,0)$\\
Bài 3.1. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$, ta có $$DE=CM\cdot\sin{\angle ACB}\ge CH \cdot\sin{\angle ACB}=constant $$ Vây nên $DE$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ trùng với $H$
Bài 3.
a.) Gọi $H$ là trực tâm. Ta phải chứng minh $EF$ là đường trung bình của $\Delta HQN $. Có $$\begin{cases}\angle NQC=\angle NBC=\angle EBC= \angle EFC\\
\angle AQC= \angle ABC=\angle AEB=\angle AHF
\end{cases}$$
\angle AQC= \angle ABC=\angle AEB=\angle AHF
\end{cases}$$
b) Do các các đường cao đồng qui tại tại $H$ nên, ta có $$\dfrac{DH}{DA}+\dfrac{EH}{EB}+\dfrac{FH}{FC}=1, $$ hay $$\dfrac{AM-MD}{DA}+\dfrac{BN-NE}{EB}+\dfrac{CQ=QF}{FC}=2, $$
$$\dfrac{AM-AD}{DA}+\dfrac{BN-BE}{EB}+\dfrac{CQ-CF}{FC}=1, $$
$$\dfrac{AM}{DA}+\dfrac{BN}{EB}+\dfrac{CQ}{FC}=4. $$
Bài 4. Ta có $$\dfrac{S_1}{S}\cdot \dfrac{S_2}{S}\cdot\dfrac{S_3}{S}=\dfrac{AF\cdot FB\cdot BD\cdot DC\cdot CE\cdot EA}{AB^2\cdot BC^2\cdot CA^2}\le \dfrac{1}{4^4}.$$
Theo nguyên lí dirichlet ta được điều phải chứng minh.
Dùng bất đẳng thức $xy\le \dfrac{(x+y)^2}{4}.$
Bài 5.
a) Áp dụng AM-GM, ta có $$(x-3)+1\ge 2 \sqrt{x-3},$$ hay $$\dfrac{x+ 8 \sqrt{x-3}+38}{ \sqrt{x-3} +4}\ge 10.$$
b) Đưa bài toán về thuần nhất $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c},$$
$$\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c(a+b+c)}=0,$$
$$(a+b) \left[\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c(a+b+c)}\right]=0,$$
$$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b+c)}.$$
Lại có $a+b+c=2022.$ Nên có ít nhất 1 số bằng 2022.