Bài tập vecto Lớp 10

Bài viết này giới thiệu phần bài tập vecto lớp 10 với các dạng bài về Khái niệm vector, các véc-tơ cùng phương, độ dài véc-tơ, hai véc-tơ bằng nhau. Bài tập về các phép toán vecto xin mời các em xem tại đây: Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài 1. Cho ba điểm $ A, B, C $ không thẳng hàng. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong ba điểm đó.

Bài 2. Cho véc tơ $\overrightarrow{AB}$ khác $\overrightarrow{0}$. Hãy vẽ 5 số véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 3. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

Bài 4. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

Bài 5. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

Hướng dẫn. Tứ giác $ ABOA $ là hình thoi nên $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}. $

Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Liệt kê tất cả các véc-tơ bằng nhau (khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

Bài 6. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

Hướng dẫn. Chỉ ra tứ giác $ ABDE $ là hình bình hành.

Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương.

Bài 9. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho:

• $ |\overrightarrow{AM}|=\SI{4}{cm} $
• $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ cho trước.

Hướng dẫn. Điểm $ A $ cố định và độ dài $ AM = \SI{4}{cm}. $ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ \SI{4}{cm}. $

$ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ nên $ M $ chạy trên đường thẳng qua $ A $ và song song với giá của véc-tơ $ \vec{a}. $

Bài 10. Cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Bài 11. Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt $A,B$ và $C$ trong các trường hợp sau:

• $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng,
• $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$.
• $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Bài 12. Cho hình bình hành $ABCD$. Dựng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}$.

Chứng minh $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$.

Bài 13. Cho tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$

Bài 14. Cho hình bình hành $ABCD$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Điểm $I$ là giao điểm của $AM$ và $BN$, $K$ là giao điểm của $DM$ và $CN$. Chứng minh: $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC},\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$$

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$, $ K $ là trung điểm của $ AH, I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B’C}; \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{IH}$

Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $ M $ ở trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là trung điểm của $ BC,CA , AB $ và $ N, P, Q $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua $A’,B’,C’$. Chứng minh:

• $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{CN}$,
• $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{PC}, $
• Ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.

Hướng dẫn. Tứ giác $ AQBM,MBNC $ là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm nên ta có $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CN}. $ Và do đó $ ACNQ $ là hình bình hành. Chứng minh tương tự có $ \overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PC} $ và $ BCPQ $ cũng là hình bình hành. Suy ra ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.