CHƯƠNG I. MỆNH ĐÊ TOÁN HỌC – TẬP HỢP

Bài 1. Mệnh đề toán học

Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

• Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên.

a) Có bao nhiêu học sinh ở lớp  tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc?

b) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên?

c) Biết lớp 10B có 40 học sinh. Có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao? Có bao nhiêu học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ?

Lời giải

a) Trong 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao có 10 học sinh tham gia cả câu lạc bộ âm nhạc

Vậy có 28-10=18 học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc

b) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên là: 28 +  (học sinh)

c) Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao.

Do đó số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao là: 40 – 28 = 12 (học sinh)

Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 37 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ.

Vậy số học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ là: 40 – 37 = 3 (học sinh)

• Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.

Lời giải

Vì nhóm có 12 học sinh, trong đó có 4 học sinh không tham gia tiết mục nào nên tổng số học sinh tham gia hai tiết mục múa và hát là:  (học sinh)

Lại có: Trong 5 học sinh tham gia tiết mục múa, có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục

Vậy số học sinh chỉ tham gia tiết mục múa là:  (học sinh)

Do đó số học sinh tham gia tiết mục hát là: 8 –  (học sinh)

Vậy trong nhóm có 6 học sinh tham gia tiết mục hát.

• Trong đợt văn nghệ chào mừng ngày 20/11, lớp  đăng kí tham gia hai tiết mục, đó là hát tốp ca và múa. Gọi  là tập hợp các học sinh tham gia hát tốp ca,  là tập hợp các học sinh tham gia múa,  là tập hợp các học sinh của lớp. Mô tả các tập hợp sau đây:

a) b) ;c) ;d) ;g) .

Lời giải

a)  là tập hợp các học sinh tham gia cả hai tiết mục là hát tốp ca và múa.

b)  là tập hợp các học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là hát tốp ca hoặc múa.

c)  là tập hợp các học sinh tham gia hát tốp ca nhưng không tham gia múa.

d)  là tập hợp các học sinh của lớp  không tham gia hát tốp ca.

g)  là tập hợp các học sinh của lớp  không tham gia tiết mục nào trong hai tiết mục hát tốp ca và múa.

• Lớp  có 27 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ bóng đá và cờ vua, trong đó có 19 học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá, 15 học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua.

a) Có bao nhiêu học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua?

b) Có bao nhiêu học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ?

c) Biết trong lớp có 8 học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Lớp 10 A có bao nhiêu học sinh?

Lời giải

Gọi  là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá,  là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua (Hình 3).

Khi đó,  là tập hợp các học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ bóng đá và cờ vua. Ta có số phần tử của  là 19, số phần tử của  là 15, số phần tử của  là 27.

a) Tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua chính là  và cũng là tập hợp .

Số phần tử của tập hợp  chính là số phần tử của  trừ đi số phần tử của .

Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua là:  (học sinh).

b) Tập hợp các học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ chính là tập hợp .

Số phần tử của  bằng số phần tử của tập hợp  trừ đi số phần tử của tập hợp các học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua.

Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là:  (học sinh).

c) Số học sinh của lớp  là  (học sinh).

Ôn tập chương I

• Giải Bóng đá vô địch thế giới World Cup 2018 được tổ chức ở Liên bang Nga gồm 32 đội. Sau vòng thi đấu bảng, Ban tổ chức chọn ra 16 đội chia làm 8 cặp đấu loại trực tiếp. Sau vòng đấu loại trực tiếp đó, Ban tổ chức tiếp tục chọn ra 8 đội chia làm 4 cặp đấu loại trực tiếp ở vòng tứ kết. Gọi A là tập hợp 32 đội tham gia World Cup 2018, B là tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng, C là tập hợp 8 đội thi đấu vòng tứ kết.

a) Sắp xếp các tập hợp A, B, C theo quan hệ ” “.

b) So sánh hai tập hợp  và .

c) Tập hợp  gồm những đội bóng bị loại sau vòng đấu nào?

Lời giải

a) Ta có: A là tập hợp 32 đội tham gia World Cup

B là tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng (chọn từ 32 đội của tập hợp A sau thi thi đấu theo bảng)

Rõ ràng mỗi phần tử (mỗi đội) của tập hợp B cũng là một phần tử (một đội) của tập hợp#A.

Do đó:

Tương tự: Từ 16 đội của , sau khi đấu loại trực tiếp, còn lại 8 đội vào tứ kết kí hiệu là tập hợp

Do đó:

Vậy .

b) Tập hợp  gồm các đội bóng vừa thuộc 32 đội tham gia

World Cup 2018, vừa thuộc 8 đội thi đấu vòng tứ kết, chính là 8 đội của tập hợp C.

Tập hợp  gồm các đội bóng vừa thuộc 16 đội sau vòng thi đấu bảng, vừa thuộc 8 đội thi đấu vòng tứ kết, chính là 8 đội của tập hợp C.

Vậy

c) Tập hợp  gồm các đội thuộc 32 đội tham gia World Cup 2018 như̛ng không thuộc 16 đội sau vòng thi đấu bảng.

Vậy đó là 16 đội không vượt qua vòng thi đấu bảng.

Nói cách khác: Tập hợp  gồm các đội bóng bị loại sau vòng đấu bảng.

• Trong đọ̣t thi giải chạy ngắn cấp trường, lớp  có 15 học sinh đăng kí thi nội dung chạy  học sinh đăng kí thi nội dung chạy . Biết lớp  có 40 học sinh và có 19 học sinh không đăng kí thi nội dung nào. Hỏi lớp  có bao nhiêu bạn đăng kí thi cả hai nội dung?

Lời giải

4 học sinh.

• Trong kì thi chọn học sinh giỏi các môn văn hoá, lớp  có 7 học sinh đăng kí thi môn Toán, 5 học sinh đăng kí thi môn Vật lí, 6 học sinh đăng kí thi môn Hoá học; trong đó có 3 học sinh đăng kí thi cả Toán và Vật lí, 4 học sinh đăng kí thi cả Toán và Hoá học, 2 học sinh đăng kí thi cả Vật lí và Hoá học, 1 học sinh đăng kí thi cả ba môn. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh đăng kí thi học sinh giỏi các môn Toán, Vật lí, Hoá học?

Lời giải

Gọi  là tập hợp các học sinh đăng kí thi môn Toán,  là tập hợp các học sinh đăng kí thi môn Vật lí,  là tập hợp các học sinh đăng kí thi môn Hoá học. Biểu diễn cả ba tập hợp bằng biểu đồ Ven (Hình 4).

Dựa vào biểu đồ Ven, ta có số học sinh chỉ đăng kí thi môn Toán là: .

Số học sinh chỉ đăng kí thi môn Vật lí là: .

Số học sinh đăng kí thi môn Toán và Vật lí mà không đăng kí thi môn Hoá học là: .

Vậy tổng số học sinh lớp 10A đăng kí thi ba môn trên là: (học sinh).

CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng . Diện tích để kê một chiếc ghế là , một chiếc bàn là . Gọi x là số chiếc ghế, y là số chiếc bàn được kê.

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn  cho phần mặt sàn để kê bàn và ghế, biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là .

b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.

Lời giải

a)

Bước 1: Biểu diễn diện tích  chiếc ghế và y chiếc bàn.

Diện tích của  chiếc ghế là  và y chiếc bàn là

Bước 2: Biểu diền diện tích lưu thông và cho lớn hơn hoặc bằng 12 .

Tổng diện tích  chiếc ghế và y chiếc bàn là

Diện tích lưu thông là

Bất phương trình cần tìm là

b)

+) Thay  ta được

 là nghiệm của bất phương trình

+) Thay  ta được

 là nghiệm của bất phương trình

+) Thay  ta được

 là nghiệm của bất phương trình

• Trong 1 lạng (100 g thịt bò chứa khoảng 26 g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein. Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu  protein. (Nguồn:https://vinmec.com và https://thanhnien.vn) Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn  để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày và chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình đó.

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn lượng protein có trong  lạng thịt bò và y lạng cá rô phi.

Lượng protein trong x lạng thịt bò là  (g)

Lượng protein trong y lạng cá rô phi là

Lượng protein trong  lạng thịt bò và y lạng cá rô phi là  (g).

Bước 2: Biểu diễn bất phương trình.

Vì lượng protein tối thiểu là  nên ta có bất phương trình:

Bước 3: Tìm nghiệm của bất phương trình

Thay  vào bất phương trình ta được

Thay  vào bất phương trình ta được

Thay  vào bất phương trình ta được

Vậy  là các nghiệm cần tìm.

Chú ý

Có thể chọn các nghiệm khác, miền là nghiệm nguyên.

• Hà, Châu, Liên và Ngân cùng đi mua trà sữa. Cả bốn bạn có tất cả 185 nghìn đồng. Bốn bạn mua 4 cốc trà sữa với giá tiền 35 nghìn đồng một cốc. Các bạn gọi thêm trân châu cho vào trà sữa. Một phần trân châu đen có giá 5 nghìn đồng, một phần trân châu trắng có giá 10 nghìn đồng. Gọi  lần lượt là số phần trân châu đen, trân châu trắng mà bốn bạn định mua thêm.

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn  để thể hiện số tiền các bạn có đủ khả năng chi trả cho phần trân châu đen, trắng.

b) Chỉ ra một nghiệm nguyên của bất phương trình đó.

Lời giải

a)  hay .b) .

Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Lời giải

Bước 1: Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất lần lượt là  và . Biểu diễn các đại lượng khác theo  và .

Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất lần lượt là  và .

Theo giả thiết, thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có

Thời gian làm  chiếc kiểu 2 trong một ngày là

Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian làm mũ thứ nhất là 1 giờ làm được 30 chiếc.

Thời gian làm  chiếc kiểu 1 trong một ngày là

Tổng thời gian làm trong một ngày là  nên ta có:

Bước 2: Lập hệ bất phương trình.

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm.

Miền biểu diễn miền nghiệm là phần màu vàng:

Bước 4: Tìm  và  để tiền lãi cao nhất.

Từ miền nghiệm ta thấy tiền lãi cao nhất tại khi điểm  là một trong các đỉnh của tam giác màu vàng:

 (nghìn đồng)

 (nghìn đồng)

Số lượng mũ kiểu 1 là 240 và số lượng mũ kiểu 2 là 0

• Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản  và . Để đạt được lợi nhuận thì khoản  phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản  không nhỏ hơn số tiền cho khoản . Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả hai khoản đầu tư đó và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình vừa tìm được.

Lời giải

Gọi  lần lượt là số tiền anh Trung đầu tư cho hai khoản  và  (đơn vị: triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác  với ) (Hình 15).

• Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết  vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết  vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá  vải và số giờ công không vượt quá 6000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp)?

Lời giải

Gọi  lần lượt là số áo vest và quần âu phân xưởng cần may , ). Tiền lãi thu được  (nghìn đồng).

Ta có hệ bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác  với , ) (Hình 16).

Ta được  đạt giá trị lớn nhất khi  ứng với toạ độ đỉnh .

Vậy để thu được tiền lãi cao nhất thì phân xưởng cần may 225 chiếc áo vest và 300 quần âu.

Ôn tập chương II

• Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là . trong 1 lạng đậu nành có  canxi, 1 lạng thịt có  canxi.

(Nguồn: https://hongngochospital.vn)

Gọi  lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt mà một người đang độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn  để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành.

b) Chỉ ra một nghiệm  với  của bất phương trình đó.

Lời giải

a)

Lượng canxi có trong x lạng đậu nành là 165x (mg)

Lượng canxi có trong y lạng thịt là 15y (mg)

Bất phương trình là

b) Thay cặp số  vào bất phương trình ta được:

Vậy  là một nghiệm của bất phương trình.

• Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng với yêu cầu tối thiểu hằng ngày qua thức uống là  đơn vị vitamin  và 90 đơn vị vitamin       C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp 60 ca-lo, 12 đơn vị vitamin  và 10 đơn vị vitamin        C. Một cốc đổ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp  đơn vị vitamin  và 30 đơn vị vitamin  C.

a) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca-lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.

b) Chỉ ra hai phương án mà bác Ngọc có thể chọn lựa số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca-lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.

Lời giải

a) Gọi x, y lần lượt là số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai cần tìm.

Lượng calo trong cả 2 đồ uống là:

Lượng vitamin A trong 2 đồ uống là: 12x+6y

Lượng vitamin C trong 2 đồ uống là:

Ta có hệ bất phương trình:

b)

+) Thay cặp số  vào hệ ta được:

 là một nghiệm của hệ.

+) Thay cặp số  vào hệ ta được:

 là một nghiệm của hệ.

Vậy hai phương án bác Ngọc có thể chọn là:

Phương án 1: 2 cốc loại 1 và 4 cốc loại

Phương án  cốc loại 1 và 5 cốc loại

• Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ  sáng đến 22 h00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ  đến 18 h00 và ca II từ 14 h00 đến 22 h00.

Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên).

Khoảng thò̀ gian làm viẹc	Tiên lương/giờ
	20000 đổng
	22000 đồng

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng  – 18h00, tối thiểu 24 nhân viên trong thời gian cao điểm  –  và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18 h00 – 22h00. Do lượng khách trong khoảng 14 h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số nhân viên ca I và ca II

Theo giả thiết ta có:

Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình giới hạn bởi tứ giác  với:

Tiền lương mối ngày của các nhân viên:  (nghìn đồng)

 (nghìn đồng)

 (nghìn đồng)

 (nghìn đồng)

 (nghìn đồng)

Vậy để tiền lương mỗi ngày ít nhất thì ca I có 8 nhân viên, ca II có 16 nhân viên.

• Một trận bóng đá được tổ chức tại một sân vận động có sức chứa 40000 người, ban tổ chức phát hành hai loại vé là 400000 đồng và 200000 đồng. Do điều kiện sân đấu nên số lượng vé có giá 400000 không lón hơn số lượng vé có giá 200000 đồng. Để an toàn phòng dịch, liên đoàn bóng đá yêu cầu số lượng vé phát hành không được quá  sức chứa của sân. Để tổ chức được trận đấu thì số tiền thu được qua bán vé không được ít hơn 3 tỉ đồng. Gọi  lần lượt là số vé giá 400000 đồng và 200000 đồng được bán ra.

a) Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn  để biểu diễn số vé mỗi loại được bán ra đảm bảo mục đích của ban tổ chức.

b) Chỉ ra hai nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

a)  b)

• Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện; một chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 nhân công, bộ phận hoàn thiện có 4 nhân công. Biết thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn.

a) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng bàn và ghế mà trong một ngày phân xưởng có thể sản xuất, biết một nhân công làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày.

b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

c) Biết một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, bao nhiêu chiếc ghế để thu được tiền lãi cao nhất?

Lời giải

a) Gọi  lần lượt là số bàn, số ghế mà xưởng sản xuất trong một ngày . Ta có hệ:

b) Miền nghiệm của hệ là tứ giác  (Hình 18).

c) Để thu được tiền lãi cao nhất thì một ngày, xưởng sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế. Khi đó tiền lãi mỗi ngày là 10200000 đồng.

• Hình 13 mô tả sơ đồ một sân khấu gắn với hệ trục tọa độ  ( đơn vị trên các trục tọa độ là 1 mét). Phần tính phòng giới hạn bởi hai đường thẳng  là vị trí ngồi của khán giả có thể nhìn thấy dàn hợp xướng. Gọi  là tọa độ ngồi của khán giả ở thính phòng. Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn  mà khán giả có thể nhìn thấy dàn hợp xướng.

Lời giải

CHƯƠNG III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Bài 1. Hàm số và đồ thị

• Bảng dưới đây cho biết chỉ số  (bụi mịn) ở thành phố Hà Nội từ tháng 1 đến tháng 12 của năm

a) Nêu chỉ số  trong tháng 2; tháng 5; tháng

b) Chỉ số  có phải là hàm số của tháng không? Tại sao?

Lời giải

a) Từ bảng ta thấy:

Tháng 2: chỉ số  là

Tháng 5: chỉ số  là

Tháng 10: chỉ số  là 43,2

b) Mỗi tháng chỉ tương ứng với đúng một chỉ số nên chỉ số  là hàm số của tháng

• Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có không lượng đến  như trong bảng sau:

Khôi lượng đến	Mức cước (đồng)
Đến	4000
Trên  đến	6000
Trên  đến	8000

a) Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y (đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản x(g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính y.

b) Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng .

Lời giải

a) Ta thấy với mỗi giá trị của x có đúng 1 giá trị của y tương ứng nên y là hàm số của x.

Công thức tính y:

b) Với  thì

Với  thì

• Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 550 km đến 600 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.

Công ty A có giá khởi đầu là 3,75 triệu đồng cộng thêm 5000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

Công ty B có giá khởi đầu là 2,5 triệu đồng cộng thêm 7500 đồng cho mỗi kilô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Lời giải

Công ty A:  (nghìn đồng)

Công ty B:  (nghìn đồng)

Với

Ta có:

Vậy chi phí thuê xe công ty A thấp hơn.

• Một nhân viên bán hàng sẽ nhận được một mức lương cơ bản là 5 triệu đồng mỗi tháng và một khoản hoa hồng là  nếu tổng doanh số trên 10 triệu đồng trong tháng. Ngoài ra, nếu doanh số bán hàng hàng tháng là 20 triệu đồng hoặc nhiều hơn thì nhân viên bán hàng nhận được thêm tiền thưởng là 500 nghìn đồng.

a) Hãy biểu diễn thu nhập hàng tháng của nhân viên đó bằng một hàm số theo doanh số bán hàng.

b) Nếu doanh số trong 1 tháng của nhân viên đó là 30 triệu đồng thì nhân viên đó sẽ nhận được bao nhiêu tiền lương?

Lời giải

a) Gọi  (triệu đồng) là doanh số bán hàng và  (triệu đồng) là thu nhập tương ứng của nhân viên đó hàng tháng. Ta có hàm số biểu diễn thu nhập hàng tháng của nhân viên đó theo doanh số bán hàng như sau (đơn vị: triệu đồng):

b) Nếu  thì . Vậy nhân viên đó sẽ được nhận 7 triệu đồng.

Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

• Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có tọa độ . Biết một điểm  trên cổng có toạ độ là .

Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Lời giải

Từ đồ thị ta thấy các điểm thuộc đồ thị là:

.

Gọi hàm số là

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào ta được hệ:

Từ đó ta có

Hoành độ đỉnh của đồ thị là:

Khi đó:

Vậy chiều cao của cổng là 186m.

• Bố bạn Lan gửi 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất  tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập với vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Tính số tiền cả vốn và lãi mà bố bạn Lan có được sau khi gửi tiết kiệm 2 tháng?

Lời giải

Số tiền cả vốn và lãi sau 2 tháng mà bố bạn Lan có được là:  (triệu đồng)

• Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh hoạ ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng  là . Từ một điểm  trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là  và khoảng cách từ  tới chân cổng gần nhất là . Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

Lấy hệ trục toạ độ  sao cho vị trí  trùng với gốc , trục  nằm trên đường nối chân hai cổng,  nằm trên tia  (đơn vị trên các trục tính theo mét).

Khi đó cổng ra vào là một phần của đồ thị hàm số .

Đỉnh của đồ thị hàm số trên có tung độ là khoảng 7,6.

Vậy chiều cao của cổng là khoảng .

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

• Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:50 khách đầu tiên có giá là 300000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo .

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080000 đồng.

Lời giải

a)

Do x là số lượng khách thứ 51 trở lên nên .

Cứ thêm 1 người thì giá còn (300000-5 000.1) đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Thêm x người thì giá còn (300 000-5 000.x) đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu theo  (VNĐ)

b) Do chi phí thực sự cho chuyến đi là 15080000 đồng nên để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng 15080 000 đồng

Khi đó:

Vậy số người của nhóm du khách nhiều nhất là 58 người.

• Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất  sản phẩm là  (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra

thị trường là 1200 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết  sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.

b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiều sản phẩm thì hoà vốn?

c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?

Lời giải

a) Doanh thu khi bán hết Q sản phẩm là  (nghìn đồng)

Lợi nhuận bán hết  sản phẩm là:

b)

Để xí nghiệp hòa vốn thì: Lợi nhuận bằng 0.

Vậy xí nghiệp sản xuất 163 sản phẩm hoặc 857 sản phẩm thì hòa vốn.

c) Để không bị lỗ thì lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng 0.

Khi đó:

Vậy để không bị lỗ thì xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm nằm trong khoảng 164 đến 857.

• Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

20 khách đầu tiên có giá là người. Nếu có nhiều hơn 20 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm  /người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi  là số lượng khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo .

b) Số người từ người thứ 21 trở lên của nhóm khách du lịch trong khoảng bao nhiêu thì công ty có lãi? Biết rằng chi phí của chuyến đi là 400 USD.

Lời giải

a) Nếu có thêm  người thì số khách là . Vì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm  người cho toàn bộ hành khách, khi đó giá vé của mỗi người là .

Theo đó, doanh thu là .

b) Lợi nhuận công ty là .

Xét tam thức , ta thấy  có hai nghiệm là .

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

Công ty lãi khi , tức là . Vì  nên ta có: .

Vậy số khách từ người thứ 21 trở lên có ít hơn 20 người thì công ty có lãi.

• Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất  sản phẩm là  (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1300 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết  sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.

b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lô? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất ra đều bán hết.

Lời giải

a) Lợi nhuận là:

 (nghìn đồng).

b) Xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi .

Ta có bảng xét dấu sau:

Theo đó, . Vậy xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm trong đoạn  để không bị lỗ.

Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn

• Xét hệ toạ độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm  và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao  sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?

Lời giải

a) Đặt phương trình parabol là

Ta có quả bóng được đá lên từ điểm  nên

Ta có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây có nghĩa là tại t=1 thì . Khi đó

Ta có quả bóng đạt độ cao 6 mau 2 giây có nghĩa là tại t=2 thì

Từ (1) và (2) ta được hệ

Vậy

b) Để quả bóng không chạm đất thì

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian  thì quả bóng chưa chạm đất.

• Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

10 khách đầu tiên có giá là 800000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 ngườí, giá vé sẽ giảm 10000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo .

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.

Lời giải

a)

Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm (

Giá vé khi có thêm  khách là:  (đồng/người)

Doanh thu khi thêm x khách là:

 (đồng)

b)

Chi phí thực sau khi thêm x vị khách là:  (đồng)

Lợi nhuận khi thêm x vị khách là:

Để công ty không bị lỗ thì lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng 0

Khi đó số khách du lịch tối đa là  người thì công ty không bị lỗ.

• Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang  thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông sao cho độ cao hai thành rãnh bằng nhau (Hình 17).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng . Bác Nam cần làm rãnh dẫn nước có độ cao ít

Lời giải

Khi chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông như Hình 17 thì mặt cắt ngang là hình chữ nhật có hai kích thước  và . Khi đó diện tích mặt cắt ngang là .

Ta thấy: Diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước lớn hơn hoặc bằng  và chỉ khi .

Tam thức  có hai nghiệm  và hệ số . Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của  sao cho tam thức  mang dấu “+” là khoảng . Do đó tập nghiệm của bất phương trình  là đoạn .

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là .

• Tổng chi phí  (đơn vị tính: nghìn đồng) để sản xuất  sản phẩm được cho bởi biểu thức ; giá bán của 1 sản phẩm là 150 nghìn đồng. Số sản phẩm cần được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết các sản phẩm được bán hết)?

Lời giải

Doanh thu khi bán  sản phẩm là .

Lợi nhuận khi bán  sản phẩm .

Để không bị lỗ thì .

Tam thức  có hai nghiệm  và hệ số . Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của  sao cho tam thức  mang dấu “+” là khoảng . Do đó tập nghiệm của bất phương trình  là đoạn .

Vậy số sản phẩm cần được sản xuất trong đoạn  để đảm bảo không bị lỗ.

• Xét hệ toạ độ Oth trong mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian  (tính bằng giây) và trục  biểu thị độ cao  (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm  và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao  sau 1 giây và đạt độ cao  sau 2 giây. Trong khoảng thời gian nào (tính bằng giây) thì quả bóng ở độ cao lớn hơn  và nhỏ hơn  (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)?

Lời giải

Độ cao  phụ thuộc vào thời gian  theo công thức hàm số sau:

Quả bóng ở độ cao lớn hơn  và nhỏ hơn  nên .

Giải bất phương trình  ta có tập nghiệm với đầu mút xấp xỉ là .

Giải bất phương trình  ta có tập nghiệm với đầu mút xấp xỉ là .

Lấy giao của hai tập nghiệm trên, ta có .

Vậy trong khoảng thời gian từ  đến  và từ  đến  thì quả bóng ở độ cao lớn hơn  và nhỏ hơn .

• Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như sau: Trong mặt phẳng toạ độ  (đơn vị trên hai trục tính theo mét), một viên đạn được bắn từ vị trí  theo quỹ đạo là đường parabol . Tìm khoảng cách theo trục hoành của viên đạn so với vị trí bắn khi viên đạn đang ở độ cao lớn hơn  (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét).

Lời giải

Độ cao viên đạn lớn hơn  nên

Vậy khoảng cách theo trục hoành của viên đạn so với vị trí bắn khi viên đạn đang ở độ cao lớn hơn  là nằm trong khoảng

Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

• Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó . Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5  thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc  (Hình ). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi chiều cao bức tường  là

Chiều dài chiếc thang là

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm  nên ta có:

Ta có  (Luôn đúng do

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m.

• Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí , sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng  như Hình. Vận tốc chèo thuyền là , vận tốc chạy bộ là  và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí  đến , biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ  đến  là 7,2 phút.

Lời giải

Đổi

7,2 phút

Gọi khoảng cách từ  đến  là

Khi đó,

Theo định lý Py-ta-go ta có:  

Thời gian đi từ  đến  là:

Thời gian đi từ  đến  là:

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ  đến  là 7,2 phút nên ta có phương trình:

Ta bình phương được do

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

• Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí  cách bờ biển một khoảng cách . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách  một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ  đến vị trí  trên bờ biển với vận tốc  rồi đi bộ đến  với vận tốc  như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí  đến , biết thời gian người đó đi từ  đến  là 148 phút.

Lời giải

Gọi BM

Ta có:

Thời gian từ  đến  là:

Thời gian từ  đến C là:

Tổng thời gian từ  đến C là 148 phút nên ta có:

Vậy khoảng cách từ vị trí  đến  là 3 km.

• Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm từ hai vị trí  và  với vận tốc trung bình lần lượt là  và  trên hai con đường vuông góc với nhau và giao tại . Hướng đi của hai xe thể hiện ở Hình 19. Biết . Gọi  (giờ) là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau  (tính theo đường chim bay) trước khi ô tô đi từ  đến vị trí . Tìm .

Lời giải.

Quãng đường ô tô xuất phát từ  đi được sau  giờ lần lượt là  và . Sau  giờ, ô tô xuất phát từ vị trí  đến  cách  một khoảng

Sau  giờ, ô tô xuất phát từ vị trí  đến  cách  một khoảng

Hinh 20 .

Để  thì . Do tam giác  là tam giác vuông nên ta có:

Ta có phương trình: . Bình phương hai vế ta có:

Phương trình có hai nghiệm là  và . Đối chiếu với điều kiện , ta nhận cả hai giá trị trên của .

Vậy thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau  (tính theo đường chim bay) trước khi ô tô đi từ  đến vị trí  là  giờ và 0,1 giờ.

• Để leo lên một bức tường, bác Dũng dùng một chiếc thang cao hơn bức tường đó . Ban đầu, bác Dũng đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào 60

mép trên của bức tường (Hình 21a). Sau đó, bác Dũng dịch chuyển chân thang vào gần chân bức tường thêm  thì bác Dũng nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc  (Hình 21b). Bức tường cao bao nhiêu mét?

Lời giải

Gọi chiều cao bức tường là . Khi đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó chạm đúng vào mép trên của bức tường thì khoảng cách chân thang đến chân tường là .

Khi thang tạo với mặt đất một góc  thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường là .

Theo đề bài ta có phương trình: .

Giải phương trình trên ta có:  với . Vậy chiều cao bức tường là .

• Một người đi bộ xuất phát từ  trên một bờ sông (coi là đường thẳng) với vận tốc  để gặp một người chèo thuyền xuất phát cùng lúc từ vị trí  với vận tốc . Nếu người chèo thuyền di chuyển theo đường vuông góc với bờ thì phải đi một khoảng cách  và gặp người đi bộ tại địa điểm cách  một khoảng . Tuy nhiên, nếu di chuyển theo cách đó thì hai người không tới cùng lúc. Để hai người đến cùng lúc thì mỗi người cùng di chuyển về vị trí  (Hình 22).

a) Tính khoảng cách .

b) Tính thời gian từ khi hai người xuất phát cho đến khi gặp nhau cùng lúc.

Lời giải

a) Đặt . Ta có: .

Vì hai người gặp nhau cùng lúc tại  nên

Giải phương trình trên ta có:  với .

Vậy khoảng cách .

b) Thời gian hai người bắt đầu di chuyển cho đến khi tới  là 10 phút.

• Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng  (Hình 23). Xác định kích thước vườn hoa hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là .

Lời giải

Đặt độ dài một cạnh của hình chữ nhật là . Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính hình tròn nên độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật đó là .

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là: .

Giải phương trình trên ta có:  hoặc . Nếu  thì độ dài cạnh còn lại là  và ngược lại. Vậy kích thước vườn hoa là .

Ôn tập chương III

• Đồ thị ở Hình 36 cho thấy sự phụ thuộc của lượng hàng hoá được sản xuất (cung) (đơn vị; sản phẩm) bởi giá bán (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm) đối với một loại hàng hoá.

a) Xác định lượng hàng hoá được sản xuất khi mức giá bán 1 sản phẩm là 2 triệu đồng; 4 triệu đồng.

b) Biết nhu cầu thị trường đang cần là 600 sản phẩm. Hỏi với mức giá bán là bao nhiêu thì thị trường cân bằng (thị trường cân bằng khi sản lượng cung bằng sản lượng cầu)?

Lời giải

a) Từ đồ thị ta thấy khi giá bán là 2 triệu đồng/sản phẩm thì lượng cung hàng hóa là: 300 sản phẩm, khi giá bán là 4 triệu đồng/sản phẩm thì lượng cung hàng hóa là 900 sản phẩm.

b) Khi nhu cầu thị trường là 600 sản phẩm, để cân bằng thị trường thì lượng cung bằng lượng cầu. Khi đó lượng cung hàng hóa cũng là 600 sản phẩm.

Từ đồ thị ta thấy khi lượng cung hàng hóa là 600 sản phẩm thì giá bán là 3 triệu đồng/sản phẩm.

• Một nhà cung cấp dịch vụ Internet đưa ra hai gói khuyến mại cho người dùng như sau:

Gói A: Giá cước 190000 đồng/tháng.

Nếu trả tiền cước ngày 6 tháng thì sẽ được tặng thêm 1 tháng.

Nếu trả tiền cước ngày 12 tháng thì sẽ được tặng thêm 2 tháng.

Gói B: Giá cước 189000 đồng/tháng.

Nếu trả tiền cước ngày 7 tháng thì số tiền phải trả cho 7 tháng đó là 1134000 đồng.

Nếu trả tiền cước ngày 15 tháng thì số tiền phải trả cho 15 tháng đó là 2268000 đồng.

Giả sử số tháng sử dụng Internet là x (1 nguyên dương).

a) Hãy lập các hàm số thể hiện số tiền phải trả ít nhất theo mỗi gói A, B nếu thời gian

dùng không quá 15 tháng.

b) Nếu gia đình bạn Minh dùng 15 tháng thì nên chọn gói nào?

Lời giải

a)

Gói A:

Hàm số:

Gói B:

Hàm số:

b)

Gia đình bạn Minh dùng 15 tháng,

+) Nếu chọn gói A: Số tiền phải trả là

 (đồng)

+) Nếu chọn gói B: Số tiền phải trả là 2268000 đồng.

Vậy gia đình bạn Minh nên chọn gói                   B.

• Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí  đến vị trí S và từ vị trí S đến vị trí C trên cù lao như Hình. Tiền công thiết kế mỗi ki-lômét đường dây từ  đến  và từ  đến  lần lượt là 3 triệu đồng và 5 triệu đồng. Biết tổng số tiền công là 16 triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.

Lời giải

Gọi khoảng cách từ  đến  là

Tổng số tiền từ  đến  là:

 (triệu đồng)

Khi đó ta có phương trình:

Do

Vậy tổng ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế là

• Một người vay 100 triệu đồng tại một ngân hàng để mua nhà với lãi suất  /năm trong thời hạn 2 năm. Hỏi số tiền người này phải trả cho ngân hàng là bao Hinh 24 nhiêu triệu đồng sau 2 năm?

Lời giải

 (triệu đồng).

• Quan sát chiếc cầu Cổng Vàng (Golden Gate bridge) ở Hinh 26. Độ cao  (feet) tính từ mặt cầu đến các điểm trên dây treo ở phần giữa hai trụ cầu được xác định bởi công thức , trong đó  (feet) là khoảng cách từ trụ cầu bên trái đến điểm tương ứng trên dây treo.

a) Xác định độ cao của trụ cầu so với mặt cầu theo đơn vị feet.

b) Xác định khoảng cách giữa hai trụ cầu theo đơn vị feet, biết rằng hai trụ cầu này có độ cao bằng nhau.

Lời giải

a) 500 feet.

b) 4200 feet.

• Bác Nam dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước , độ rộng viền xung quanh là  (Hình 27). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá .

Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Lời giải

Đặt độ rộng viền khung ảnh là . Ta có diện tích viền khung ảnh là: .

Theo đề bài ta có: .

Giải bất phương trình trên ta có: . Suy ra độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là .

• Hai địa điểm  và  cách nhau bởi một con sông (coi hai bờ sông song song). Người ta muốn xây một chiếc cầu bắc vuông góc với bờ sông để có thể đi từ  đến . Với các số liệu (tính theo đơn vị ki-lô-mét) cho trên Hình 28, tìm  để xác định vị trí đặt chân cầu sao cho khoảng cách từ  đến chân cầu phía  gấp đôi khoảng cách từ  đến chân cầu phía .

Lời giải

Gọi chân cầu phía  là , chân cầu phía  là . Dựa vào Hinh 28, áp dụng định lí Pythagore ta có:

Theo đề bài, ta có: .

Giải phương trình trên ta có:  với .

Vậy với  thì khoảng cách từ  đến chân cầu phía  gấp đôi khoảng cách từ  đến chân cầu phía .

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. VECTƠ

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

• Để đo khoảng cách từ vị trí  đến vị trí  ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí  đến vị trí  và tiến hành đo các góc . Biết . Hỏi khoảng cách từ vị trí  đến vị trí  là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Xét tam giác , ta có: .

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có:

Vậy khoảng cách từ vị trí  đến vị trí  là .

• Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến  và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là:  (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là:  (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác  ta có:

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

• Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn  tới chiếc diều và phương nằm ngang) là ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn  là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn  cũng là . Biết chiều cao của tòa nhà là  (Hình). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

Đặt , suy ra .

Xét tam giác , ta có:  Xét tam giác OBD, ta có:  Mà:

Suy ra .

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.

• Từ một tấm bìa hình tròn, bạn  cắt ra được một hình tam giác có các cạnh  và góc  (Hình 4). Tính độ dài cạnh  và bán kính  của miếng bìa.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác  ta có:  

Suy ra .

Áp dụng định lí sin cho tam giác  ta có:

.

Suy ra .

• Từ một tấm tôn hình tròn có bán kính , bạn Trí muốn cắt ra một hình tam giác  có các góc . Hỏi bạn Trí phải cắt miếng tôn theo hai dây cung  có độ dài lần lượt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải

Xét tam giác  (Hình 58), ta có: .

Áp dụng định lí  ta có: .

Suy ra:  

Vậy bạn Trí phải cắt miếng tôn theo hai dây cung  có độ dài lần lượt là xấp xỉ  và .

• Một cây cao bị nghiêng so với mặt đất góc . Từ vị trí  cách gốc cây , người ta tiến hành đo đạc và thu được kết quả:  với  là vị trí ngọn cây (Hình 10).

Tính khoảng cách từ gốc cây (điểm ) đến ngọn cây (điểm ) (làm tròn kêt quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Lời giải

Xét tam giác  (Hình 59), ta có:

.

Áp dụng định lí sin ta có: .

Do đó: .

Vậy chiều dài của cây là xấp xỉ 19,4 m.

• Tàu  cách cảng  một khoảng  và lệch hướng bắc một góc . Tàu  cách cảng  một khoảng  và lệch hướng bắc một góc  (Hình 11). Hỏi khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác  ta có:

Suy ra . Vậy khoảng cách giữa hai tàu là khoảng .

Bài 2. Giải tam giác

• Để tính khoảng cách giữra hai địa điểm  và  mà ta không thể đi trực tiếp từ  đến  (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy,…), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm  sao cho ta đo được các khoảng cách  và góc . Sau khi đo, ta nhận được:  và  (Hình 31). Tính khoảng cách  (làm tròn kết quả đến hàng phần mười đơn vị mét).

Lời giải

Đổi: 1 km = 1000 m. Do đó  m.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác  ta có:

Vậy khoảng cách  là 1433,2 m.

• Một người đi dọc bờ biển từ vị trí  đến vị trí  và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là  và . Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là  (Hình). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng và H là hình chiếu của C trên .

Khi đó  là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển.

Ta có:    Áp dụng định lí sin trong tam giác  ta có:  

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển .

• Gia đình bạn An sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào  là , chiều dài của hàng rào  là . Góc giữa hai hàng rào  và  là  (Hình 21 .

a) Diện tích mảnh đất mà gia đình bạn An sở hữu là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

b) Chiều dài hàng rào  là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

a) Diện tích mảnh đất của gia đình bạn An (tam giác ) là: .

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

Suy ra .

Vậy chiều dài hàng rào  là khoảng .

• Hai người  và  cùng quan sát một con tàu đang neo đậu ngoài khơi tại vị trí . Người  đứng trên bờ biển, người  đứng trên một hòn đảo cách bờ một khoảng . Hai người tiến hành đo đạc và thu được kết quả:  (Hình 22). Hỏi con tàu cách hòn đảo bao xa (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét)?

Lời giải

Xét tam giác . Ta có: .

Áp dụng định lí sin ta có: .

Suy ra .

Vậy con tàu cách hòn đảo khoảng 102,7 m.

• Một người đi dọc bờ biển từ vị trí  đến vị trí  và quan sát một con tàu  đang neo đậu ngoài khơi. Người đó tiến hành đo đạc và thu được kết quả:  (Hình 23). Tính khoảng cách từ vị trí  đến con tàu  (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Lời giải

Xét tam giác . Ta có: .

Áp dụng định lí sin ta có: .

Suy ra .

Vậy khoảng cách từ vị trí  đến con tàu  là khoảng .

• Lúc 6 giờ sáng, bạn  đi xe đạp từ nhà (điểm ) đến trường (điểm ) phải leo lên và xuống một con dốc (Hình 24). Cho biết đoạn thẳng  dài , .

a) Tính chiều cao  của con dốc theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ trung bình lên dốc là  và tốc độ trung bình khi xuống dốc là .

Lời giải

a) Xét tam giác  ta có: .

Áp dụng định lí  ta có: .

Xét tam giác vuông  ta có .

Vậy chiều cao con dốc là khoảng .

b) Áp dụng định lí sin ta có: .

Ta có: .

Như vậy, thời gian bạn  đi từ nhà đến trường là:

Vậy bạn An đến trường lúc khoảng 6 giờ 6 phút.

• Quan sát cây cầu dây văng minh hoạ ở Hình

Tại trụ cao nhất, khoảng cách từ đỉnh trụ (vị trí ) tới chân trụ trên mặt cầu (vị trí ) là , độ dài dây văng dài nhất nối từ đỉnh trụ xuống mặt cầu

(vị trí ) là , khoảng cách từ chân dây văng dài nhất tới chân trụ trên mặt cầu là  (Hình 26). Tính độ dốc của cầu qua trụ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Lời giải

Độ dốc của cầu là góc nghiêng giữa đường cầu qua trụ và phương nằm ngang, tức là góc .

Xét tam giác , áp dụng định lí côsin ta có:

Xét tam giác  ta có:  (tính chất góc ngoài tam giác). Vậy độ dốc của cầu qua trụ theo đề bài là khoảng .

• Một người đứng ở vị trí  trên nóc một ngôi nhà cao  đang quan sát một cây cao cách ngôi nhà

 và đo được  (Hình 27). Tính chiều cao của cây đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Lời giải

Xét tam giác vuông  ta có:  (định lí Pythagore) và . Do đó, . Suy ra .

Áp dụng định lí sin cho tam giác  ta có:   . Vậy cây cao khoảng .

Bài 3. Khái niệm vectơ

• Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectoo (hình)

a) Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương.

b) Trong các cặp vectơ đó, cho biết chúng cùng hướng hay ngược hướng.

Lời giải

Gọi a, b, c là các đường thẳng lần lượt chứa các vectơ . Khi đó:  lần lượt là giá của các vectơ

a) Dễ thấy:

 Ba vectơ  cùng phương với nhau.

Vậy các cặp vectơ cùng phương là:  và  và  và .

b) Quan sát ba vectơ, ta thấy: vectơ  và  cùng hướng xuống còn vectơ  hướng lên trên.

Vậy vectơ  và  cùng hướng, vectơ  và  ngược hướng, vecto  và  ngược hướng.

• Trong mặt phẳng nghiêng không có ma sát, cho hệ vật , hai vật nối với nhau bằng một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc (Hình 32). Giả sử bỏ qua khối lượng của dây và ma sát của ròng rọc.

a) Tìm các cặp vectơ cùng phương trong các vectơ ở Hinh

b) Những cặp vectơ cùng phương đó có cùng hướng không?

Lời giải

Học sinh tự làm.

Bài 4. Tổng, hiệu của hai vectơ

• Cho ba lực  và  cùng tác động vào một vật tại điểm  và vật đứng yên. Cho biết cường độ của  đều là  và . Tìm cường độ và hướng của lực .

Lời giải

Vẽ hình bình hành  ta dễ có  vì  nên  là hình thoi. Suy ra tam giác là , nên .

Vì vật đứng yên, nên ta có . Suy ra

Vậy cường độ lực . Có hướng ngược (là hợp lực của )

• Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là . Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc  so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Lời giải

Ca nô chuyển từ đông sang tây, giả sử ca nô đi theo hướng  sang , khi đó vận tốc so với mặt nước của ca nô được biểu thị bởi  và có độ lớn , vận tốc dòng chảy được biểu thị bởi  và có độ lớn .

Khi đó vận tốc của ca nô so với bờ sông được biểu thị bởi

Ta cần tính độ lớn của vectơ , hay chính là

Dựng hình bình hành ACDB như hình vẽ.

Do hướng nam bắc vuông góc với hướng đông tây nên  và  vuông góc với nhau.

Suy ra ACDB là hình chữ nhật.

Nên .

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ACD, ta có:

Lại có do  là hình bình hành nên:  Do đó:

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là .

Bài 5. Tích của một số với một vectơ

Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ

• Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ  thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ  (Hình). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Lời giải

Khi đó ta có:  là hình bình hành có .

Suy ra: .

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng , đây chính là độ dài vectơ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có:

Suy ra .

Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83km/h.

• Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ  thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ . Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị ).

Lời giải

Gọi  là vận tốc của máy bay khi không có gió, ;

 là vận tốc của gió,  là vận tốc của máy bay khi có gió.

Ta có: . Vì  nên

Suy ra .

Ôn tập chương IV

• Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.

Bạn Hoài vẽ góc  và đố bạn Đông làm thế nào có thể biết được số đo của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:

– Chọn các điểm  lần lượt thuộc các tia  và

 sao cho ;

– Đo độ dài đoạn thẳng  được .

Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được , từ đó suy ra độ lôn góc .

Em hãy cho biết số đo góc  ở Hình bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABO ta có:

Do đó: .

Vậy từ các dự kiện bạn Đông tính được, ta suy ra .

• Có hai trạm quan sát  và  ven hồ và một trạn quan sát  ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ  và từ  đến , người ta làm như sau (Hình):

– Đo góc  được , đo góc  được ;

– Đo khoảng cách  được .

Khoảng cách từ trạm  đến các trạm  và  bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác .

Ta có:  (định lí tổng ba góc trong tam giác

Suy ra

Áp dụng định lí sin trong tam giác  ta có:

Do đó: ;

Vậy khoảng cách từ’ trạm C đến trạm A khoảng  và từ trạm  đến trạm  khoảng 1076 .

• Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Từ vị trí đang đứng , người đó đo được góc nghiêng  so với bờ sông tới một vị trí  quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí  cách  một khoảng  và tiếp tục đo được góc nghiêng  so với bờ bên kia tới vị trí  đã chọn (Hình).

Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phẩn mười)?

Lời giải

Dựng  vuông góc với hai bên bờ sông, khi đó AD là độ rộng của khúc sông chạy qua vị trí của người đó đang đứng. Ta cần tính khoảng cách AD.

Xét tam giác  ta có: (tính chất góc ngoài tại đỉnh  của tam giác)

. Lại có .

Áp dụng định lí sin trong tam giác  ta có: .

Suy ra . Ta có: .

Tam giác ADC vuông tại  nên

.

Vậy độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là .

• Để đo khoảng cách giữa hai vị trí  ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí  bên ngoài ốc đảo sao cho:  không thuộc đường thẳng ; các khoảng cách ,  và góc  là đo được (Hình).

Sau khi đo, ta có , . Khoảng cách giữa hai vị trí  là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Ba vị trí O, M, N tạo thành 3 đỉnh của tam giác

Tam giác  có  và

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có:

Suy ra: .

Vậy khoảng cách giữa hai ví trí  khoảng .

• Hai lực  cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm  và tạo với nhau một góc  làm cho vật di chuyển theo hướng từ  đến  (Hình). Lập công thức tính cường độ của hợp lực  làm cho vật di chuyển theo hướng từ  đến  (giả sử chỉ có đúng hai lực  làm cho vật di chuyển).

Lời giải

Ta thấy, AOBC là hình bình hành nên

Suy ra:  (1).

Ta cần tính cường độ của hợp lực  hay chính là tính .

Từ (1) suy ra .

Ta lại có:    (3).

Từ (2) và (3) suy ra:

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực  làm cho vật di chuyển theo hướng từ  đến là

• Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Từ vị trí đang đứng , người đó đo được góc nghiêng  so với bờ sông tới một vị trí  quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí  cách  một khoảng  và tiếp tục đo được góc nghiêng  so với bờ sông tới vị trí  đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác  ta có:

Gọi  là hình chiếu vuông góc của  lên đường thẳng , ta có:

Độ rộng của con sông là: . .